F.A.Q. PHOTO
ФОТОГРАФ! НЕФИГ ЛАЗИТЬ ПО САЙТАМ, РАБОТАЙ И РУБИ БАБЛО ОНЛАЙН!
Новое на сайте arrow О Фотографии arrow Секреты «Золотого сечения»
Новое на сайте
О проекте
О Фотографии
О Маркетинге
Веб-Ликбез
Ссылки
Карта Сайта
Поиск по сайту
Вход в систему
Пользователь

Пароль

Запомнить меня
Забыли пароль?




Royalty Free Images

Секреты «Золотого сечения» Версия для печати Отправить на e-mail
Написал(а) Автор неизвестен. Буду признателен за информацию!   

«Золотое сечение»

Введение.

Познание великого таинства восприятия человеческим глазом гармонии извечно волновало человечество. Уже в Древней Греции исследование сущности красоты сформировалось в самостоятельную ветвь науки -эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии.В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определённой степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а учёный - красоту в истине. Сущность жизни как феномена природы – упорядочение беспорядка (хаоса).Человек вообще предпочитает простоту сложности, определённость – неопределённости, а отсюда и стремление к простым геометрическим формам – квадрату, треугольнику, кругу, пирамиде и т.д. Зодчие древности воздвигали замечательные сооружения – от храмов Египта и Греции до костёлов Европы и русских церквей используя секреты гармонии скрытые в пропорциях частей целого.

Из множества пропорций существует одна обладающая уникальными свойствами и удивительно действующая на восприятие человеком окружающего на подсознательном уровне. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эта пропорция и есть «божественная пропорция или «золотое сечение».

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. В эпоху итальянского Возрождения «золотая пропорция» именуемая Леонардо да Винчи «Sectio autea» возводится в ранг главного эстетического принципа и берёт своё начало как термин в трудах Птолемея, который дал это название числу 0,618. В дальнейшем более глубокий математический анализ показал, что золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, её нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, она отвечает простому математическому выражению – формуле красоты (1+√5): 2 и равна 1,6180339…

В этой цифре скрыта одна из фундаментальных тайн природы которую ещё предстоит открыть.

1. «Всё есть число» (Пифагор).

Вспомним удивительно красивую теорему Пифагора – «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» . Именно эта формула и треугольник с соотношением сторон 1 : 2 : √5 были положены в основу многих античных сооружений, сделав их исключительно гармоничными для восприятия. Из этих величин следует и уже известное нам мистическое число: (а + с) /в = (1+√5)/2 = 1,618033… Рис.1 А треугольник со сторонами 3 : 4 : 5 входит в число целого ряда прямоугольных треугольников, именуемых в древности «божественными», для которых справедливо отношение: а² + в² = с² .

Доказано, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (Х,У,Z) образуют геометрическую прогрессию: z/y = y/x В этом треугольнике отношение гипотенузы к малому катету равно «золотой пропорции», в дальнейшем именуемой ф (первая буква имени Фидия – греческого скульптора применявшего золотую пропорцию при создании своих творений), а два других отношения сторон (z/y и y/x)отвечают корню квадратному из «золотой пропорции». А из рис.2 видно как остроугольный треугольник АВС разбивается на три треугольника «золотой пропорции». В них стороны равны: АД=1, ДВ=Ф, ВС=АВ=Ф+1=Ф², АС=АЕ=Ф Рис.2

Можно было продолжать примеры связанные с треугольниками и «золотым сечением», но ограничимся лишь формулой показывающей связь Ф и π Ф = (√5 +1)/2 = 2cos π/5 По представлениям древних учёных «золотая пропорция» проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые лежат в основе мироздания. Нельзя обойти стороной и такую известную геометрическую фигуру, как спираль, широко распространённую в живой природе и олицетворяю динамику, которую Гёте считал математическим символом жизни и духовного развития. Отрезки радиуса, заключённого между последовательными завитками спирали, также образуют прогрессию с отношением: АВ/BC = BC/CD = …n Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Частным случаем спирали может служить спираль с n=Ф, которая называется «кривой гармонического возрастания». Однако оставим в покое спираль и Пифагора с его теоремой, о принадлежности которой Пифагору сомневаются многие историки указывая на более ранние свидетельства известных закономерностей и направимся в Египет с его величественными и таинственными пирамидами.

2. Египет. Пирамиды.

О времени построения и технологии сооружения мегалитических сооружений Древнего Египта споры не затихают многие века будоража воображение и ставя новые вопросы, на многие из которых так и нет ответа. Одна из загадок – геометрические соотношения пирамид. Очевидно, что их основания и высота не были выбраны случайно. Есть основание предполагать, что в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса было заложено отношение: OM/MN = √Ф =1,272 ; ON/MN=1,618=Ф Рис.3

Можно предположить, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором отношение катетов равно отношению гипотенузы к большому катету и равно 1, 272 = √Ф, а отношение гипотенузы к малому катету равно «золотой пропорции» Ф=1,618. Существует только один треугольник отвечающий такому соотношению и повторяющий геометрическую прогрессию. Если обозначить стороны такого треугольника буквами X,Y,Z, то получим следующее равенство: (Z/X)? = 1 + Z/X, а так как отношение сторон Z/X в этом треугольнике равно Ф, то получим в итоге простую и красивую зависимость Ф² = Ф + 1

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «ПИ». При этом рекомендуется использовать египетскую единицу длины, измеряемую в локтях. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные величины (то есть несоизмеримые!) величины - π и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды выраженных в локтях.

Изучая архитектурные сооружения Древнего Египта, можно сделать вывод о существовании в те времена системы пропорций, построенных на квадрате и его производных. (рис.4) Бесспорно, что египетские зодчие знали и сознательно применяли замечательные треугольники: священный - со сторонами 3 : 4 : 5, треугольник со сторонами 1 : Ф и 1 : √Ф, а в них содержится золотая пропорция и «около неё нельзя было пройти мимо»..

Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых так же зафиксированы пропорции золотого деления.

3. Греция. Парфенон.

В фасаде древнегреческого храма Афины - Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. Размеры Парфенона хорошо изучены, но не всегда однозначны ввиду почти отсутствия прямых линий.

Известно, что фасад храма вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и √5. Известно , что диагональ прямоугольника 1 : 2 имеет размер √5, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении всей геометрии. В работе В. Смоляка, посвящённой изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада, Смоляк получил прогрессию : 2 3 4 5 6 7 1 : f : f : f : f : f : f, где f =0,618

Не менее интересен подход И. Шевелёва, который увидел реализацию в Парфеноне двух эталонов длины 1 и √5, то есть тех же, что и палки египетского зодчего Хесиры. Академик И. Жолтовский выяснил, что отношение диаметра колонн Парфенона к расстоянию между ними равно отношению двух таких функций: 0,528:0,472. Эти «функции Жолтовского» образуются при делении отрезка в соответствии с золотым сечением – следовательно, являются производными золотой пропорции. При дальнейшем делении отрезка в той же последовательности получается и третья производная золотой пропорции, равная отношению 0,507:0,493.Эта пропорция лишь незначительно отличается от соотношения сторон в квадрате (1:1,028) и образует так называемый «живой квадрат».Такой квадрат по мнению художников и архитекторов обладает значительно большей эстетической ценностью в сравнении с совершенным квадратом с равными сторонами.

Но не только присутствие золотой пропорции в геометрии Парфенона делает это сооружение столь прекрасным. Тщательные измерения Парфенона показали, что в нём нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые.Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине.

4. Русь. Храмы.

Законы «золотой пропорции» присутствуют во всех шедеврах русской архитектуры, что строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1 : 2. Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, И. Шевелёв пришёл к выводу, что в нём с удивительной чистотой проявляется пропорция 2 : √5, равная 0,894 которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали в прямоугольнике с отношением сторон 1 : 2 (прямоугольник «два квадрата»).

Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском. В основу пропорций этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и √5 - 1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви, по данным И Шевелёва, от плана до любого членения фасада подчинены двум отношениям: повторению размеров (1:1) и отношению 1: (√5 - 1) = 0,809 = 0,447 : 0,553. Можно долго перечислять храмы с золотой пропорцией и её производными, но обратимся к не менее интересной закономерности в построении русских церквей. Такой закономерностью является –число куполов. Помимо одно и двухкупольных церквей, многие имели по пять и восемь куполов.

Новгородский Софийский собор был 13-ти главым, а Преображенскую церковь в Кижах – шедевр деревянного зодчества венчает 21 купол. Случаен ли такой рост куполов (1,2,3,5,8,13,21)? Думается что нет и он в точности совпадает с рядом чисел Фибонччи отражающий естественный закон роста.

5. Ряд Леонардо Фибоначчи.

В книге по математике написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи была одна забавная задача о кроликах: «Сколько пар кроликов за один год от одной пары рождается?» Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой задачи получился ряд чисел 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя столетие после открытия Фибоначчи ряда чисел И. Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции.

На языке математики это выражается формулой: U / U ? Ф при n ? ∞, Ф=1,61803….. – зол. пропорция n+1 n Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами, одним из которых является стремление в пределе к квадрату золотой пропорции равному 2,618033 отношения расположенных через одно чисел этого ряда. Получается, что Ф + 1 = Ф². Но ведь это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике с углом около 51? 50'. Это же уравнение связывает отрезки целого, разделённого на две части в соответствии с золотой пропорцией. Невидимая, но прочная связь общих закономерностей соединила в логически единую стройную систему совершенные геометрические фигуры, пирамиды Египта, задачу о размножении кроликов.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия. Если мы создадим прямоугольный плоский резонатор электромагнитных колебаний, стороны которого относятся в пропорции золотого сечения, то колебания в таком резонаторе будут разделены по двум степеням свободы, т.к. колебания вдоль большей стороны не смогут возбудить колебаний вдоль меньшей стороны, т.к. для меньшей стороны длина большей стороны соответствует точке компенсации. Теперь становится понятной причина, побудившая создать прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии. Это позволило сориентировать электромагнитные колебания по нужному направлению (вертикально или горизонтально).

6. Золотое сечение и живопись.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.Портрет Моны Лизы (Джоконды) Леонардо да Винчи долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

На знаменитой картине И. И. Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев». На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается... золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре.

Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем: «В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенный порядок в чарующую гармонию». В композиции «Избиение младенцев» очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

7. Обобщённое золотое сечение.

В классическом золотом сечении отрезок АВ разбит точкой С на два отрезка в пропорции: АВ/CB = CB/AC Уравнение золотого сечения: X? - X – 1 = 0, а положительный корень этого уравнения отвечает золотой пропорции. Обобщённые золотые сечения получаются при разбиении отрезка АВ точкой С так, что сохраняется Справедливым отношение : s (АВ/CB) = CB/AC Указанное отношение частей отрезка отвечает следующему уравнению: sХ – Х – 1 = 0. Его авторы А. Стахов и И. Витенько и назвали обобщённым уравнением S – сечений Таблица золотых S - сечений

8. Золотое сечение в скульптуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения».

Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

< Пред.   След. >
Лучший хостинг для фотографов - рекомендую!
Новое

© Photo Legion, 2006-2012